立体几何中的平行和垂直

【导读】

文科立体几何大题和理科立体几何大题第一问都是求证平行和垂直关系，并且一般是要求用公理、定理、推论来论证，而不是用空间向量来计算。阅读此文可帮助你理清论证直线和直线、直线和平面、平面和平面平行和垂直关系的思路。

在平面几何和解析几何中，平行和垂直都是指直线和直线的位置关系。但在立体几何中，平行和垂直关系扩展到直线和平面及平面和平面。对于直线和平面的平行、垂直关系及平面和平面的平行、垂直关系的想象倒不是学习过程的难点。而由此产生的一系列的定义、判定定理、性质定理及推论难以在头脑中形成清晰的知识体系是大部分学生的困惑。打开课本看书，非常明白!老师一个一个的讲一遍，也听得非常清楚。但合上课本，回答如何判定直线和直线、直线和平面、平面和平面的平行和垂直？几乎没有同学能回答全面系统，更谈不上清晰到位！

因此在解具体题目时，无从想起或者陷进错误的认知不能自拔，导致消耗过多的时间，而又得不到分数。

下面是对立体几何中众多公理、定理、推论进行的重组整合。旨在理清论证平行和垂直关系的主体思路。

如何判定直线和直线平行？两条：1.如果一条直线与一个平面平行，经过这条直线的平面与已知平面相交，则这条直线和这它们的交线平行；2.如果两个平行平面都和第三个平面相交，则它们的交线平行。

如何判定直线和平面平行？两条：1.如果不在平面内的一条直线与平面内的一条直线平行，则这条直线和这个平面平行；2.如果两个平面平行，则一个平面内的任意一条直线和另一个平面平行。

如何判定平面和平面平行？两条：1.如果一个平面内的两条相交直线都与另一个平面平行，则这两个平面平行；2.如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面内的两条直线分别平行，则这两个平面平行。

如何判定直线和直线垂直？1条：如果一条直线与一个平面垂直，则这条直线和这个平面内的任意一条直线垂直。

如何判定直线和平面垂直？两条：1.如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则这条直线和这个平面垂直；2.如果两个平面垂直，则一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。

如何判定平面和平面垂直？1条：如果一个平面内的一条直线与另一个平面垂直，则这两个平面互相垂直。

在解大题时基本上都是用上面的10条定理来论证平行、垂直关系，不要想其它结论，这样就不会浪费精力走弯路了！

至于其它公理、定理、推论在解小题时，你明确是公理、定理、推论有利于迅速做出决断。在解大题时偶尔某一小步也用的着时，也是自然能够想到的。

其它公理、定理、推论是：

平行于同一条直线的两条直线平行；垂直于同一个平面的两条直线平行；平行于同一个平面的两个平面平行；如果一条直线垂直于两条平行直线中的一条直线，则这条直线也垂直于另一条直线；垂直于同一条直线的两个平面平行；如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，则这条直线也垂直于另一个平面；如果两条平行直线的一条直线垂直于一个平面，则另一条直线也垂直于这个平面。

如能强制自己按照上面对众多公里、定理、推论的重组整合来进行专门的记忆，再跟进适当的练习，就会逐步形成清晰完整的平行、垂直关系的知识体系。在解答高考立体几何题时，就会有的放矢，迅速作答，赢得时间，赢得分数！

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